Czy można przekroczyć prędkość światła?

W paragrafie 2.1 ustaliliśmy, że prędkość światła jest jednakowa we wszystkich układach odniesienia. Pociąga to za sobą pewne konsekwencje. Np. światło we wszystkich układach odniesienia jest falą kulistą (czoło znajduje się zawsze o $x=ct$ od punktu centralnego). Piszemy więc równanie kuli:

$$c^2t^2=x^2+y^2+z^2$$ (2.1)

Zapiszemy to teraz dla innego układu współrzędnych, przemieszczającego się względem oryginalnej osi $x$ z prędkością $v$. Zrobimy jeszcze uogólnienie, że czas w ruchomym układzie zależy od położenia tego układu względem obserwatora ($t+lx$) i obliczymy niewiadomą l.

Niewiadoma ta byłaby dla transformacji galileuszowskich jest równa zero, ale tutaj zerowa być nie może. Spójrzmy na równanie:

$$c^2t^2=(x-vt)^2+y^2+z^2$$ (2.2)

To równanie nie może być spełnione dla dowolnego $v$ przy niezmodyfikowanym czasie! Wnioskujemy więc, że musi zależeć jeszcze od położenia. Lecimy więc dalej:

$$c^2(t+lx)^2=(x-vt)^2+y^2+z^2$$ (2.3)

$$c^2(t^2+2tlx+(lx)^2)=x^2-2xvt+(vt)^2+y^2+z^2$$ (2.4)

$$c^2t^2(1-\frac{v^2}{c^2})=x^2[1-(lc)^2]-\underbrace{2tx(v+c^2l)}_{fe}+y^2+z^2$$ (2.5)

W ostatnim równaniu obraz równania kuli zaburza podkreślony czynnik. Jednak wiemy, że światło ma prędkość stałą we wszystkich układach, więc czynnik ten musi być równy zero. Z tego wynika nam

$$v+c^2l=0 \rightarrow l=-\frac{v}{c^2}$$ (2.6)

Podstawiając do wzoru na falę kulistą, otrzymujemy:

$$c^2t^2(1-\frac{v^2}{c^2})=x^2[1-\frac{v^2}{c^2}]+y^2+z^2$$ (2.7)

Co określa z punktu widzenia układu obserwatora rozchodzenie się fali kulistej w układzie ruchomym. Obserwator w układzie ruchomym oczywiście widzi upływ czasu i rozchodzenie fali bez tego śmiesznego współczynnika, czyli

$$t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (2.8)

$$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (2.9)

W powyższym wzorze od razu podany został też wzór na $x'$. W miejscu $t$ oraz $x$ po prawej stronie, podstawione zostały już ostatecznie funkcje $t=f(t,x)$ oraz $x=g(t,x)$

Powtarzając całe rozumowanie, zamieniając we wzorach prędkość $v$ na $-v$, dostaniemy przekształcenia odwrotne; z układu poruszającego się do spoczywającego:

$$t=\frac{t'+\frac{v}{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (2.10)

$$x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (2.11)

Są to transformacje Lorentza.

Można się teraz pokusić o obliczenie prędkości mierzonej w układzie spoczywającym ( $\frac{\Delta x}{\Delta t}$), znając prędkość w układzie ruchomym ( $u=\frac{\Delta x'}{\Delta t'}$), poruszającym się z prędkością $v$ względem obserwatora nieruchomego:

$$\frac{\Delta x}{\Delta t}= \frac{\Delta x'+v\Delta t'}{\Delta t'+\frac{v}{c^2}\Delta x'}$$ (2.12)

(mianowniki nam się w liczniku i mianowniku uprościły) Wyciągamy teraz $\Delta t'$ przed nawias mianownika

$$\frac{\Delta x}{\Delta t}= \frac{1}{\Delta t'}\frac{v\Delta ... ...c^2}\frac{\Delta x'}{\Delta t'}}= \frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}$$ (2.13)

Jest to wzór na relatywistyczne składanie prędkości. Jak widać, nie ma możliwości przekroczenia prędkości światła.

Powyższe wyprowadzenia są bardzo proste, ale bardziej trafiające do wyobraźni jest przypuszczalnie podejście geometryczne, z diagramami czasoprzestrzennymi. Może kiedyś pojawi się rozdział i o tym.