Co z siłami podłużnymi w sekcji 2.22?

From: "Marek Józefowski" <marjozef@friko7.onet.pl>

Co z ewentualnymi siłami podłużnymi ($\vert\vert \vec v$); to, że ich nie ma w układzie nieruchomym nie oznacza, że tak gładko to możemy powiedzieć o układzie ruchomym (aby to uzasadnić trzeba wykorzystać fakt, że czterosiła jest prostopadła do czteropędu).

Załóżmy, że mamy, w chwili $t=0$, dwa elektrony odległe o $r$,i w układzie $K$ oba mają prędkości $\vec v$ równoległe do siebie i prostopadłe do $\vec r$. Oznaczmy przez $K'$ układ w którym te elementy spoczywają. Interesuje nas siła z jaką działa jeden element na drugi

• W układzie $K$ ($c=1$) (wzór Lorentza)

  
  

  $$f_i = \frac{dp_i}{ds} = eF_{ik}u_k$$ (2.90)

  
  

  gdzie $f$ to czterosiła, $u$ to czteroprędkość elementu 2, $F_{ik}$ to pole EM wytworzone przez element 1.

• W układzie $K'$

  
  

  $$f_i' = \frac{dp'_i}{ds} = eF'_{ik}u'_k$$ (2.91)

  
  

  Ponieważ $F$ transformuje się jak tensor, $u$ jak czterowektor, to wyrażenie $eF_{ik}u_k$ transformuje się jak czterowektor, co implikuje, że $f_i$ transformuje się jak czterowektor. Z tego wynika (transformacja Lorentza), że składowe $f$ przestrzenne, prostopadłe do $\vec v$, są takie same w $K$ i $K'$. Co więcej, ponieważ w $K'$ składowa równoległa do $\vec v$ i składowa zerowa $f'_i$ są równe $0$, więc również w $K$ składowa $f$ przestrzennego, równoległa do $\vec v$ jest zero. Z tego wynika:

  
  

  $$f_{1,2,3} = f'_{1,2,3}$$ (2.92)

  
  

Ważne jest przedostatnie zdanie: wykorzystuje ono założenie, że cząstka w $K'$ w $t=0$ ma czteropęd $(m,0,0,0)$. Z tego i z faktu $fp=0$ wynika składowa zerowa $f'_0=0$. A z tego wynika (patrz tr. Lorentza), że nie pojawiają się składowe $\vert\vert \vec v$ w układzie $K$.

Jeżeli założylibyśmy niezerową prędkość drugiego elementu (równoległą do $\vec r$), w chwili $t=0$, to chociaż w $K'$ nie byłoby sił w $t=0$ $\vert\vert \vec v$, ale w układzie $K$ pojawiłyby się.