Przyspieszenia w układach nieinercjalnych

Rysunek: Dwa układy, inercjalny O (z lewej) i nieinercjalny O' (z prawej)

Spójrzmy na rysunek 3.1. Mamy tam dwa układy: inercjalny oraz nieinercjalny, który porusza się względem inercjalnego z pewnym przyspieszeniem. Przeprowadźmy pewne różniczkowanka.

$$r\vec{e}=r_0\vec{e}+r'\vec{e'}$$ (3.1)

$$\vec{e}\frac{d\vec{r}}{dt}= \vec{e}\frac{dr_0}{dt+\vec{e'}}\frac{dr'}{dt}+r'\frac{de'}{dt}$$ (3.2)

Mamy tu na początku zapisany wektor położenia punktu P z pomocą wektorów jednostkowych $e$ układu inercjalnego i $e'$ układu nieinercjalnego. Wykonując różniczkowanie, pamiętamy że orientacja wektorów jednostkowych układu nieinercjalnego może ulegać zmianie, a więc zależy od czasu. Różniczkowaniu podlega więc funkcja

$$\frac{d[\vec{e'}(t)r'(t)]}{dt}=\vec{e'}(t)\frac{dr'(t)}{dt}+r'(t)\frac{d\vec{e'}(t)}{dt}$$

Otrzymaną pochodną możemy zapisać jako:

$$\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{v'}+\vec{\omega} \times \vec{r}$$ (3.3)

Tzn. mamy pochodną iloczynu. Różniczkując to wyrażenie dalej, dochodzimy do:

$$\vec{e}\frac{d^2r}{dt^2}= \vec{e}\frac{d^2r_0'}{dt^2}+ \frac{d\ve... ...{e'}\frac{d^2r'}{dt^2}+ \frac{dr'}{dt}\frac{d\vec{e'}}{dt}+ r'\frac{d^2e}{dt^2}$$ (3.4)

$$\vec{a}=\vec{a_0}+ 2(\vec{\omega}\times\vec{v})+ \vec{a'}+ (\vec{\epsilon_0}\times\vec{r'})+ \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r'})$$ (3.5)

W ostatnim równaniu poszczególne człony mają następujące znaczenie:

$$\frac{d\vec{e'}}{dt}\frac{dr'}{dt}= (\vec{\omega}\times\vec{e'})\frac{dr'}{dt}= \vec{\omega}\times\vec{v}$$ (3.6)

$$r'\frac{d^2e'}{dt^2}=r'\frac{d(\vec{\omega}\times\vec{e'})}{dt}= r'\frac{d\vec{\omega}}{dt}\times\vec{e'}+r'\vec{\omega}\times\frac{d\vec{e'}}{dt}$$ (3.7)

$$\vec{\epsilon}=\frac{d\vec{\omega}}{dt}\qquad\textrm{Przyspieszenie kątowe}$$ (3.8)

$$\vec{a_{0b}}=\vec{\epsilon}\times\vec{r'}\qquad\textrm{Przyspieszenie obwodowe}$$ (3.9)

$$\vec{a_d}=\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r'})=-\omega^2\vec{r'}\qquad\textrm{Przyspieszenie dośrodkowe}$$ (3.10)

$$\vec{a_c}=2(\vec{\omega}\times\vec{v})\qquad\textrm{Przyspieszenie Coriolisa}$$ (3.11)

$$\vec{a_0}\qquad\textrm{Przyspieszenie O' względem O}$$ (3.12)

$$\vec{a'}\qquad\textrm{Przyspieszenie punktu P w O'}$$ (3.13)

Widać stąd m.in, że siła Coriolisa nie jest niczym magicznym i wynika wprost z rozważań nad układem nieinercjalnym i jego zachowaniem względem układu inercjalnego.