Gdy rozważymy przyspieszające od do ciało, zmianie ulega jego energia kinetyczna: . Jednak gdyby spojrzeć na sytuację z innego układu inercjalnego poruszającego się z prędkością , uzyskamy co z kolei upraszcza się do , co nie jest równe zmianie energii w poprzednim układzie inercjalnym.
Czy jest to możliwe by zmiany energii były różne? Trudno sobie wyobrazić, by energia uwolniona z paliwa zmieniała się z układem odniesienia, więc coś musimy robić źle. Mianowicie, nie uwzględniamy zwiększenia energii w pozostałych elementach układu, który zachowuje pęd w zadaniu. Np. w przypadku lecącego samolotu, musimy uwzględnić energię wyrzucanych spalin; w przypadku jadącego samochodu musimy uwzględnić przyspieszenie Ziemi.
Jako łatwy do policzenia przykład, weźmy przyspieszający od zera do samolot. W tej sytuacji, prędkość jego gazów wylotowych wyniesie z zachowania pędu,
(3.20) |
gdzie małymi literami oznaczam wielkości związane ze spalinami, dużymi-wielkości związane z samolotem. Obliczmy teraz energię w dowolnym układzie odniesienia, poruszającym się z prędkością , a w przekształceniach podstawimy powyższy wynik na :
(3.21) | |||
(3.22) | |||
(3.23) | |||
(3.24) |
Widzimy obecnie, że jeśli obliczymy zmianę energii , to uzyskamy wielkość niezależną od , tj. od doboru układu odniesienia:
(3.25) |