W mechanice kwantowej wielkości mierzalne oblicza się w sposób specyficzny.
Należy tu w jakiś sposób zadziałać na wektor stanu (który spełnia równanie
fali), aby uzyskać interesującą wartość. Jest tak, bowiem wszystkie
informacje trzeba właściwie wyciągać z funkcji falowej. W tym celu przypisuje
się wielkościom mierzalnym operatory.
Wielkości mierzalnej odpowiada operator
![]() |
(6.4) |
gdzie to możliwe wektory stanu w całej przestrzeni. Operator
działając na wektor zwykły daje w wyniku wektor zwykły, działając na wektor
dualny, daje wektor dualny:
![]() |
(6.5) | ||
![]() |
(6.6) |
Działając obecnie operatorem na wektor stanu
,
korzystając z ortonormalności bazy
(tj.
), uzyskamy
![]() |
(6.7) |
Co oznacza, że aby obliczyć wielkość mierzalną , należy obliczyć
wartość własną powyższego równania dla wektora własnego
.
Pamietamy bowiem z matematyki, że równanie własne oznaczało się tam jako
![]() |
(6.8) |
gdzie było macierzą, a
wektorem własnym, natomiast
było skalarną wartością własną. Powyższe równanie operatorowe ma
identyczną strukturę, jedynie operator nie jest jako taki macierzą. Jednak
można operator przedstawić również w postaci macierzy, działając nim na
wektory bazowe wektora stanu,
![]() |
(6.9) |
(działamy tu operatorem na kolejne wektory bazowe , a następnie
rzutujemy całość na dualne wektory bazowe
). W efekcie uzyskujemy
klasyczne równanie własne.