Co to są operatory w mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej wielkości mierzalne oblicza się w sposób specyficzny. Należy tu w jakiś sposób zadziałać na wektor stanu (który spełnia równanie fali), aby uzyskać interesującą wartość. Jest tak, bowiem wszystkie informacje trzeba właściwie wyciągać z funkcji falowej. W tym celu przypisuje się wielkościom mierzalnym operatory. Wielkości mierzalnej $a$ odpowiada operator

$$\hat A=\sum_{a,\alpha} \vert a,\alpha>a<a,\alpha\vert$$ (6.4)

gdzie $\vert a,\alpha>$ to możliwe wektory stanu w całej przestrzeni. Operator działając na wektor zwykły daje w wyniku wektor zwykły, działając na wektor dualny, daje wektor dualny:

$$\hat A\vert\Psi>=\sum_{a,\alpha}\vert a,\alpha>a<a,\alpha\vert\Psi>$$ (6.5)

$$<\Psi\vert\hat A=\sum_{a,\alpha}<\Psi\vert a,\alpha>a<a,\alpha\vert$$ (6.6)

Działając obecnie operatorem $\hat A$ na wektor stanu $\vert a,\alpha>$, korzystając z ortonormalności bazy $\vert a,\alpha>$ (tj. $<a,\alpha\vert a',\alpha'>=\delta_{a,a'}\delta_{\alpha,\alpha'}$), uzyskamy

$$\hat A\vert a,\alpha>=a\vert a,\alpha>$$ (6.7)

Co oznacza, że aby obliczyć wielkość mierzalną $a$, należy obliczyć wartość własną powyższego równania dla wektora własnego $\vert a,\alpha>$. Pamietamy bowiem z matematyki, że równanie własne oznaczało się tam jako

$${\bf A}\vec x=\lambda \vec x$$ (6.8)

gdzie ${\bf A}$ było macierzą, a $\vec x$ wektorem własnym, natomiast $\lambda$ było skalarną wartością własną. Powyższe równanie operatorowe ma identyczną strukturę, jedynie operator nie jest jako taki macierzą. Jednak można operator przedstawić również w postaci macierzy, działając nim na wektory bazowe wektora stanu,

$$A_{ij}=\sum_{n,\alpha}<b_i\vert a_n,\alpha>a_n<a_n,\alpha\vert b_j>$$ (6.9)

(działamy tu operatorem na kolejne wektory bazowe $\vert b_j>$, a następnie rzutujemy całość na dualne wektory bazowe $<b_i\vert$). W efekcie uzyskujemy klasyczne równanie własne.