Dlaczego w mechanice kwantowej w ogóle trzeba używać operatorów?

Marek Józefowski <marjozef@friko7.onet.pl>

Operatory w prosty sposób reprezentują nieprzemienność - liczby nie mogą - a świat MK przemienny nie jest.

Klasycznie jak mamy wielkość fizyczną $A$ i $B$, i dokonujemy ich pomiaru, to nie musimy mierzyć osobno $A+B$ albo $AB$ - wystarczy, że dodamy (pomnożymy) wyniki aby wiedzieć co dostalibyśmy gdybyśmy mierzyli $A+B$ ($AB$) bezpośrednio. W mechanice kwantowej na ogół tak nie jest, i aby otrzymać jakiś konkretny wynik obserwabli $A+B$ ($AB$) należy je zmierzyć osobno - na ogół nie wiąże się to z poprzednim wyznaczaniem $A$ i $B$. Od razu widać, że liczby takiego kryterium nie spełniają - następne w kolejce są operatory.

Po drugie, wielkości kwantowe ukryte są w funkcji falowej. Przekształcając ją matematycznie, aby w którymś miejscu pojawiła się np. energia lub pęd, uzyskujemy zwykle równanie różniczkowe postaci $\hat A\Psi=A\Psi$. Jest to zagadnienie Sturma-Liouvile na wartości własne $A$ i stąd obliczamy możliwe wielkości $A$.